第 7 講        (平成 19 年 5 月 22 日)

(基本的例題-続き-)

2. 斜面上の運動

斜面に沿って下方向に $x$ -軸、斜面に垂直方向に $y$ -軸をとる。 斜面の傾きを $\theta$ とする。 摩擦のない場合は、斜面に垂直な方向の力は釣合う。つまり $N_y=mg \cos \theta$ . 斜面に平行な力は $F=mg \sin \theta$ . そこで運動方程式は

$$m\frac{d^2 x}{dt^2}=mg \sin \theta$$ (0)

つまり、$x$ -軸方向に加速度 $\alpha=g \sin \theta$ の定加速運動をする: $x=(1/2)\alpha t^2+v_0t+x_0$ . ここに、$v_0$ , $x_0$ はそれぞれ $t=0$ における速度と位置である。

(摩擦のある場合)

$$N_x=mg \sin \theta\ \ ,\qquad N_y= mg \cos \theta$$ (0)

と力が釣合っており、初め静止しておれば静止を続ける。斜面の傾き $\theta$ を徐々に大きくしていった時、 $\theta=\theta_{\rm max}$ で動き出す とすると、 $(N_x)_{\rm max}=mg \sin \theta_{\rm max}$ .

一般に接線方向の抗力(摩擦力) $N_x$ は垂直抗力 $N_y$ に比例する。 上の場合は $N_x=({\rm tan}\,\theta) N_y$ である。 $\theta=\theta_{\rm max}$ の時 の $\mu={\rm tan}\,\theta_{\rm max}$ を最大摩擦係数という。

$\theta > \theta_{\rm max}$ とすると、物体は滑り始める。 この時の摩擦力(滑り摩擦力) も垂直抗力 $N_y$ に比例する。 $N_x=\mu^\prime N_y$ (一般に $\mu^\prime < \mu$ ) $N_x=\mu^\prime N_y =\mu^\prime mg \cos \theta$ より $x$ -軸方向の力は $F_x=mg \sin \theta-N_y=mg(\sin \theta-\mu^\prime \cos \theta) > 0$ . そこで、運動方程式は

$$m\frac{d^2 x}{dt^2}=mg (\sin \theta -\mu^\prime \cos \theta)$$ (0)

つまり、$x$ -軸方向に加速度 $\alpha=g (\sin \theta -\mu^\prime \cos \theta) ~(>0)$ の定加速運動をする。 最大静止摩擦係数や滑り摩擦係数 (動摩擦係数ともいう) は物体の質量 によらず、斜面と物体が触れあう面の性質だけで決まる。

3. 等速円運動

伸び縮みしない糸で結ばれた、平面上の半径 $r$ の円運動を考える。 2 次元極座標で考えるのが便利である。極座標での加速度の公式、 $a_r=\ddot{r}-r(\dot{\theta})^2$ , $a_\theta=2 \dot{r} \dot{\theta} +r \ddot{\theta}$ を用いて、運動方程式は

$$m a_r=-T\ \ ,\qquad m a_\theta=0$$ (0)

である。ここに、$T$ は糸の張力である。 $r=$ 一定、より $\dot{r}=0$ , $\ddot{r}=0$ から 角速度 $\omega=\dot{\theta}$ を 使うと

$$m r \omega^2=T\ \ ,\qquad r \dot{\omega}=0$$ (0)

二番目の式から $\omega=$ 一定、従って $v=r \omega=$ 一定。 また、 $T=mr \omega^2=m (v^2/r)$ . つまり、糸の張力 $T$ は速度 $v$ の 2 乗に比例する。

(宿題) 静止衛星

地球赤道上を地球の自転と同じ周期でまわる人工衛星。 高度 $h$ をいくらにすればよいか? (答: 約 3 万 6 千 km)

4. 単振動

壁に取り付けたバネによる物体の振動。働く力は横方向に $F=-kx$ ($k>0$ : バネ定数) これは、力が位置だけの函数の 例である。運動方程式は

$$m\frac{d^2 x}{dt^2}=-kx$$ (0)

$\omega=\sqrt{k/m}$ とおくと

$$\ddot{x}+\omega^2 x=0$$ (0)

一般解は $A$ , $B$ を時間に依存しない定数として $x=A \cos \omega t +B \sin \omega t$ と表される。 $\omega$ は角速度と同じ単位をもち、実際、下に見る様に等速円運動の 角速度と同じ意味を与えることが出来る。Eq. (5.6) は 線型 2 階微分方程式の簡単な例となっている。特に、 $A \rightarrow A \sin \delta$ , $B \rightarrow A \cos \delta$ とすると、三角函数の 加法定理より、 $x=A \sin (\omega t+\delta)$ 。 ここに $A$ を振動の振幅、$\delta$ を初期位相 ($t=0$ の 時の位相) という。三角函数の位相 $\omega t+\delta$ が $2\pi$ だけ 増えれば、変位 $x$ はもとの値にもどる。その意味で $\omega T=2\pi$ と なる時間 $T$ を周期と呼べば

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi A}{v}$$ (0)

( $v=A \omega$ ) で $\omega$ は等速円運動の角速度としての意味を持つ。 すなわち、単振動は円運動をある軸のまわりに射影したものである。

ここから、数学

(Euler の公式)          $e^{i \theta}=\cos \theta + i \sin \theta$

実際 $f(\theta)=\cos \theta +i \sin \theta$ として、$\theta$ で 微分すると

$$\frac{d}{d \theta}f(\theta)=i f(\theta)$$ (0)

この微分方程式は、以前の空気の抵抗がある時の放物運動のところで 試みたのと同様にして解ける。$\theta=0$ で $f(0)=1$ で あることに注意すると、 $f(\theta)=e^{i \theta}$ .

(複素数の極座標表示)

横軸に $x$ , 縦軸に $y$ の代りに $iy$ をとると $x=r \cos \theta$ , $y=r \sin \theta$ より

$$z=x+iy=r(\cos \theta +i \sin \theta)=r e^{i\theta}$$ (0)

と書ける。従って、 $\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r \cos \theta \\ r \sin \theta \\ \end{array}\right)$ の 2 次元ベクトルは、 唯一の複素数 $z=r e^{i \theta}$ で表される。 これを「複素数の極座標表示」という。

(Eq. (5.7) の一般解)

$A=1$ , $B=i$ として $x=e^{i \omega t}$ . $A=1$ , $B=-i$ として (或は、左の複素共役をとって)、 $x=e^{-i \omega t}$ . 従って、Eq. (5.7) の一般解は $x=A e^{i\omega t}+B e^{-i\omega t}$ とも表わされる。

(複素数の指数函数)         通常の指数法則が成り立つ。つまり

$$e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x (\cos y+i\sin y)$$

$${\rm log}\,z= {\rm log}\,(re^{i\theta}) ={\rm log}\,r+{\rm log}\,e^{i \theta} ={\rm log}\,r+i(\theta + 2\pi n)$$ (0)

ここに $n=0,~\pm1,~\pm2,\cdots$ .

(Taylor 展開)

一般に函数 $f(x)$ が

$$f(x)=a_0 +a_1 x +a_2 x^2+\cdots = \sum^\infty_{n=0} a_n x^n$$ (0)

と巾(ベキ)級数に展開できるとすると

$$a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)$$ (0)

が成り立つ。ここに、 $f^{(n)}(x)$ は $f(x)$ の $n$ 階の微分 を表す。これを、Taylor 展開という。 実は、$x$ を $z \in {\boldsymbol C}$ (複素数) としても成り立つ。すなわち

$$f(z) = \sum^\infty_{n=0} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)~z^n$$ (0)

複素函数 $f(z)$ がこの様に巾級数に展開出来るとき、$f(z)$ を 解析函数という。指数函数 $e^z$ や sine, cosine 函数、$\sin z$ , $\cos z$ 等の、いわゆる初等函数は全て解析函数である。 特に、$f(z)=e^z$ の時、 $f^{(n)}(z)=e^z$ であるから

$$e^z = \sum^\infty_{n=0} \frac{1}{n!} z^n =1+\frac{1}{1!}z+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{3!}z^3+\cdots$$ (0)

は指数函数の巾級数展開であり、指数函数の定義を与えている。 更に、 $z=e^{i\theta}$ とおいて、実部と虚部ごと ($\theta$ =実数とする) に まとめると、Euler の公式により

$$\cos \theta = 1-\frac{1}{2!}\theta^2 +\frac{1}{4!}\theta^4-\cdots =\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{1}{(2n)!}\theta^{2n}$$

$$\sin \theta = \frac{1}{1!}\theta-\frac{1}{3!}\theta^3 +\cdots =\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}\theta^{2n+1}$$ (0)

が得られる。これらは、sine, cosine 函数の巾級数展開である。 $\vert\theta\vert \ll 1$ の時、特に有用である。

5. 単振子

伸び縮みしない長さ $\ell$ の糸に質量 $m$ の重りをつけて吊す。 $T$ を糸の張力として、運動方程式は

$$m a_r=mg \cos \theta-T\ \ ,\qquad ma_\theta=-mg \sin \theta$$ (0)

である。ここに、$\theta$ は糸の垂直方向からの振れ角である。 極座標表示で $r=\ell=$ 一定、より、 $a_r=\ddot{r}-r(\dot{\theta})^2=-\ell (\dot{\theta})^2$ , $a_\theta=2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=\ell \ddot{\theta}$ . そこで

$$T=mg \cos \theta+m\ell (\dot{\theta})^2\ \,\qquad \ddot{\theta}+\frac{g}{\ell} \sin \theta =0$$ (0)

が得られる。今度は $\dot{\theta}$ は一定ではない。 しかし、 $\vert\theta\vert \ll 1$ (振れ角は小さい) として $\sin \theta$ を $\theta=0$ のまわりに展開して、 $\sin \theta=\theta-(1/3!)\theta^3+\cdots$ の $\theta$ の１次 までとると、新しく $\omega=\sqrt{g/\ell}$ として （ $\dot{\theta}$ ではない!)、Eq. (5.18) の二番目の式は

$$\ddot{\theta}+\omega^2 \theta=0$$ (0)

となる。これは、単振動の式 Eq. (5.7) で $x \rightarrow \theta$ とした ものだから

$$\theta(t)=\theta_0 \cos (\omega t+\delta)$$ (0)

ここに、$\theta_0$ , $\delta$ は任意定数である。 振動の周期は

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$$ (0)

(同じ $T$ だが、張力の $T$ と区別する。) すなわち、振動が小さい ( $\theta_0 \ll 1$ radian) 時は周期は 振幅 $\theta_0$ によらない。これを、「振り子の等時性」という。 また、$m$ にもよらない。(ガリレオの観察)