第 9 講        (平成 19 年 6 月 11 日)

5.2 保存力と中心力

一般に力 ${\boldsymbol F}$ は位置ベクトル ${\boldsymbol r}$ だけでなく、速度 ${\boldsymbol v}$ , 時間 $t$ 等 の函数である: ${\boldsymbol F}={\boldsymbol F}({\boldsymbol r}, {\boldsymbol v},t)$ . 今、 ${\boldsymbol F}$ が ${\boldsymbol r}$ だけの函数 のとき、 ${\boldsymbol F}({\boldsymbol r})$ を「力の場」という。 一般に、空間の各点 $P$ にベクトルが与えられたとき、そのベクトルの 総体を「ベクトル場」という。同様に、空間の各点 $P$ にスカラー量が 与えられたとき、そのスカラーの総体を「スカラー場」という

ベクトル場 : ${\boldsymbol F}({\boldsymbol r})$ , ${\boldsymbol E}({\boldsymbol r})$ , ${\boldsymbol H}({\boldsymbol r})$ , $\cdots$ (力の場、電場、磁場、$\cdots$ )

スカラー場 : $U({\boldsymbol r})$ , $\phi({\boldsymbol r})$ , $\cdots$ (位置ポテンシャル、電磁場のポテンシャル、$\cdots$ )

以下、簡単のため ${\boldsymbol F}={\boldsymbol F}({\boldsymbol r})$ を仮定する。

仕事は一般には、運動の起点 $O$ と終点 $P$ 以外にその運動の経路 $\gamma$ にも 依存するため、それを $W_\gamma(P; O)$ と書く。

$$W(t, t_0)=\int^t_{t_0}\left( {\boldsymbol F}\cdot \frac{d {\bolds... ... dt= \int_\gamma ({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r}) \equiv W_\gamma(P; O)$$ (0)

(例)

2 次元の運動で、 ${\boldsymbol F}({\boldsymbol r})=\left(\begin{array}{c} 1 \\ x \\ \end{array}\right)$ , かつ $O$ が座標原点、 $P=(x_1, y_1)$ のとき、 $O$ から $P$ まで引いた直線の経路を $\gamma_I$ , $O \rightarrow (x_1,0) \rightarrow (x_1, y_1)$ を $\gamma_{II}$ , $O \rightarrow (0,y_1) \rightarrow (x_1, y_1)$ を $\gamma_{III}$ とすると

$$W_{\gamma_I}(P, O)=x_1+\frac{1}{2}x_1 y_1\ ,\quad W_{\gamma_{II}}(P, O)=x_1+x_1 y_1\ ,\quad W_{\gamma_{III}}(P, O)=x_1$$ (0)

で全て違う! (植松「力学」 p. 61 参照)

$W_\gamma(P; O)$ が $P$ , $O$ にはよるが、経路 $\gamma$ には よらないとき、 ${\boldsymbol F}={\boldsymbol F}({\boldsymbol r})$ を「保存力」という。 この場合、ポテンシャル(位置エネルギー)による記述が可能である。

(力が保存力であるための条件)

線積分 $W_\gamma(P; O)=\int_\gamma({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r})$ に対して、 経路を逆に辿った場合の線積分を $W_{-\gamma}(O; P)$ = $\int_{-\gamma}({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r})$ で表す。 $W_{-\gamma}(O; P)=-W_\gamma(P; O)$ である。 また別の経路 $\gamma^\prime$ を考えると、 $W_\gamma(P; O)=W_{\gamma^\prime}(P; O)$ のとき、 $W_\gamma(P; O)=-W_{-\gamma^\prime}(O; P)$ . つまり、 $W_\gamma(P; O)+W_{-\gamma^\prime}(O; P)=0$ . すなわち、$O$ から $P$ を巡って、再び $O$ に帰ってくる 閉じた経路を $C=\gamma \cup (-\gamma^\prime)$ とすると $\int_C ({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r})=0$ . これは、しばしば $\oint ({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r})=0$ と書かれる。 すなわち、「 ${\boldsymbol F}$ が保存力なら、経路を一周するとその力が した仕事はゼロ」である。

また逆に、任意の閉じた経路に対して $\oint ({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r})=0$ ならば、 ${\boldsymbol F}$ は保存力である。実際、起点 $O$ , 終点 $P$ を巡る 1 周の線積分を 考えると、任意の $\gamma$ , $\gamma^\prime$ に対して $W_\gamma(P; O)+W_{-\gamma^\prime}(O; P)=0$ . つまり $W_\gamma(P; O)=W_{\gamma^\prime}(P; O)$ . 従って、 $W_\gamma(P; O)$ は $\gamma$ によらず $W(P; O)$ である。

まとめると

$$\oint ({\boldsymbol F}\cdot d {\boldsymbol r})=0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad {\boldsymbol F}~\hbox{は保存力}$$ (0)

一般に ${\boldsymbol F}={\boldsymbol F}({\boldsymbol r})$ が保存力なら、起点 $O$ を固定して

$$W(P, O)=-U(P)+\hbox{const}$$ (0)

と書ける。ここに、$U(P)$ を位置エネルギー (ポテンシャルエネルギー) という。 ここに、$W(O; O)=0$ より、const=$U(O)$ (起点のポテンシャルエネルギー) で ある。これを使うと、 $T(P)-T(O)=W(P; O)$ より

$$T(P)+U(P)=T(O)+U(O)=E \qquad (\hbox{全エネルギー})$$ (0)

これを、「力学的エネルギーの保存則」という。

(力とポテンシャルの関係)

以下、 ${\boldsymbol F}={\boldsymbol F}({\boldsymbol r})$ は保存力とする。

$$W(P, O)=-U(P)+\hbox{const}=-U({\boldsymbol r})+\hbox{const}$$ (0)

と書いて、 ${\boldsymbol r}$ についての偏微分を考える。 $W(P; O)$ は経路によらないから、$x$ , $y$ , $z$ 方向の微分を それぞれ独立に考えることが出来る。

$$\frac{W(x+\Delta x, y, z; O)-W(x, y, z; O)}{\Delta x} =-\frac{U(x+\Delta x, y, z)-U(x, y, z)}{\Delta x}$$ (0)

で

$$\hbox{左辺}=\frac{1}{\Delta x} \int^{x+\Delta x}_x \left( F_x dx + F_y dy + F_z dz\right) =\frac{1}{\Delta x}\int^{x+\Delta x}_x F_x dx$$ (0)

より、 $\Delta x \rightarrow 0$ へ移ると

$$F_x=-\frac{\partial}{\partial x} U(x, y, z)$$ (0)

これを、$x$ の偏微分という。同様に

$$F_y=-\frac{\partial}{\partial y} U(x, y, z)\ \ ,\qquad F_z=-\frac{\partial}{\partial z} U(x, y, z)$$ (0)

これらをまとめて

$${\boldsymbol F}=- {\boldsymbol \nabla}~U=-{\rm grad}~U$$ (0)

と書く。ここに

$${\boldsymbol \nabla}={\rm grad}=\left( \begin{array}{c} \frac{\pa... ...e}_y \frac{\partial}{\partial y} +{\boldsymbol e}_z \frac{\partial}{\partial z}$$ (0)

(gradient の幾何学的意味)

Taylor 展開より

$$\Delta U({\boldsymbol r})=\left(\frac{\partial U}{\partial {\boldsymbol r}} \cdot \Delta {\boldsymbol r}\right) +O((\Delta {\boldsymbol r})^2)$$ (0)

点 $P=({\boldsymbol r})=(x, y, z)$ での等ポテンシャル面の接平面の方程式は

$$\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)(X-x) +\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)(Y-y) +\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)(Z-z)=0$$ (0)

である。従って、 $(\partial U/\partial {\boldsymbol r})$ は接平面の法線方向を向く。 そこで、法線の単位ベクトルを

$${\boldsymbol e}_n=\frac{\frac{\partial U}{\partial {\boldsymbol r}}} {\left\vert\frac{\partial U}{\partial {\boldsymbol r}}\right\vert}$$ (0)

とすると

$$\Delta U({\boldsymbol r})=\left\vert\frac{\partial U}{\partial {\... ...ldsymbol e}_n \cdot \Delta {\boldsymbol r}\right)+O((\Delta {\boldsymbol r})^2)$$ (0)

ここで、 $\Delta {\boldsymbol r}=n {\boldsymbol e}_n$ とおくと

$$\Delta U({\boldsymbol r})=\left\vert\frac{\partial U}{\partial {\boldsymbol r}}\right\vert n +O(n^2)$$ (0)

つまり

$$\lim_{n \rightarrow 0}\frac{\Delta U({\boldsymbol r})}{n} =\left\vert\frac{\partial U}{\partial {\boldsymbol r}}\right\vert$$ (0)

(力の絶対値は法線方向の勾配である。) $\Delta U({\boldsymbol r})$ が一定の場合を考えると、「等ポテンシャル面が密な ところほど、保存力 ${\boldsymbol F}$ の大きさが大きい」ことがわかる。

(中心力)

万有引力の様に、ポテンシャルエネルギー $U({\boldsymbol r})$ が ${\boldsymbol r}$ の 大きさ $r=\vert{\boldsymbol r}\vert$ だけの函数のとき、そこから導かれる保存力を 「中心力」という。このとき

$${\boldsymbol F}=-\frac{\partial}{\partial {\boldsymbol r}}U(r) =-... ...c{\partial}{\partial r}U(r) =-{\boldsymbol e}_r \frac{\partial}{\partial r}U(r)$$ (0)

は ${\boldsymbol F}\parallel {\boldsymbol e}_r$ であり、力は中心方向を向く。 一般に、 ${\boldsymbol F}\parallel {\boldsymbol e}_r$ (動径方向) を向く保存力 ${\boldsymbol F}$ を 中心力といい、そのポテンシャルエネルギーは $r=\vert{\boldsymbol r}\vert$ だけの 函数となる。

参考

(偏微分、全微分) (2 変数で説明する)

2 変数の連続函数 $f(x,y)$ に対して

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x, y)}{h} =\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)$$

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x, y+\Delta y)-f(x, y)}{h} =\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)$$

が存在するとき、 $(\partial/\partial x)f(x, y)$ , $(\partial/\partial y)f(x, y)$ をそれぞれ $x$ の偏微分、$y$ の 偏微分という。($f_x(x,y)$ , $f_y(x,y)$ とも書く。) このとき、Taylor 展開から

$$f(x+\Delta x,y)-f(x, y)=\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right) \Delta x + O((\Delta x)^2)$$

$$f(x, y+\Delta y)-f(x, y)=\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right) \Delta y + O((\Delta y)^2)$$ (0)

更に

$$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y) =\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y+\Delta y)\right) \Delta x + O((\Delta x)^2)$$ (0)

で Eq. (5.40) の下の式を使うと

$$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y) = \left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right) \Delta x$$

$$+ O((\Delta x)^2, (\Delta y)^2, (\Delta x)(\Delta y))$$ (0)

より、Eq. (5.40) の下の式と加えて

$$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x, y)$$

$$=\left(f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y)\right) +\left(f(x, y+\Delta y)-f(x, y)\right)$$

$$=\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right)\Delta x +\left(\... ...l y} f(x,y)\right)\Delta y +O((\Delta x)^2, (\Delta y)^2, (\Delta x)(\Delta y))$$ (0)

このとき、主要部 $\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right)\Delta x +\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right)\Delta y$ を 2 変数函数 $f(x,y)$ の全微分といい $d\,f$ と書く。

$$d\,f=\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right)\Delta x +\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right)\Delta y$$ (0)

特に、$f(x,y)=x$ のとき、 $(\partial/\partial x)f(x, y)$ , $(\partial/\partial y)f(x, y)$ はそれぞれ 1, 0 だから $dx=\Delta x$ . 同様に、 $dy=\Delta y$ . そこで

$$d\,f=\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right) dx +\left(\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right) dy$$ (0)

2 階の偏微分は

$$\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2 f(x, y)\ ,\quad \frac{... ... \partial x} f(x, y)\ ,\quad \left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x, y)$$ (0)

である。もし $\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f(x, y)$ が 連続なら、2 重極限の定理により

$$\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f(x, y) =\frac{\partial^2}{\partial y \partial x} f(x, y)$$ (0)

が成り立つ。

(微分形式)

一般に、2 次元平面内で連続な函数 $P=P(x,y)$ , $Q=Q(x,y)$ に対して

$$\omega=P dx +Q dy$$ (0)

を微分形式 (differential form) という。全微分は、 ``連続的微分可能''¹ な原始 函数 $f(x,y)$ があって、$P$ , $Q$ が

$$P(x,y)=\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\ \ ,\qquad Q(x,y)=\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$$ (0)

で与えられる場合である。( $\omega=d\,f$ )

(1 変数の場合)

$P=P(x)$ (連続) なら、 $\omega=P(x) dx$ を積分して

$$f(x)=\int^{x}_{x_0} P(x)~dx\ \ ,\qquad \frac{d f(x)}{dx}=P(x)$$ (0)

ここに、$P(x)$ は連続より Riemann 積分可能で $f(x)$ は微分可能である。 つまり、 $\omega=P(x) dx=(d f(x)/dx) dx= d\,f$ . すなわち、$f(x)$ は 原始函数である。

(線積分)

(区分的に) 微分可能な経路

$$\gamma(s)=(x(s), y(s)) \qquad s \in [0, \ell]$$

$$\gamma(0)=O\ \ ,\qquad \gamma(\ell)=P$$ (0)

に対して、微分形式 $\omega=P dx+Q dy$ の線積分を

$$\int_\gamma \omega = \int_\gamma (P dx+ Q dy) =\int^\ell_0 \left(P\frac{dx}{ds}+Q\frac{dy}{ds}\right) ds$$

$$= \int^\ell_0 \left\{P(x(s),y(s))\frac{dx(s)}{ds} +Q(x(s),y(s))\frac{dy(s)}{ds}\right\} ds$$

$$= \int^\ell_0 f(s) ds$$ (0)

で定義する。ここに、 $f(s)=P(x(s),y(s))\frac{dx(s)}{ds} +Q(x(s),y(s))\frac{dy(s)}{ds}$ である。$s$ を更に

$$s=s(t)~(\hbox{連続的微分可能}) \qquad t \in [t_0, t_1]$$

$$s(t_0)=0\ ,\quad s(t_1)=\ell\ ,\quad \hbox{}^\forall \dot{s}(t) > 0 \quad (\hbox{単調増大})$$ (0)

として

$$\int_\gamma \omega = \int^\ell_0 f(s) ds =\int^{t_1}_{t_0} f(s(t))\frac{d s(t)}{dt} dt$$ (0)

は不変である。これを、 $t \rightarrow \gamma(s(t))=\gamma_1(t)$ による 新しいパラメータへの変換という。

$$\int_\gamma \omega = \int_{\gamma_1} \omega$$ (0)

$\circ$ $s(u)=\ell-u$ with $u \in [0, \ell]$ とすると

$$s(0)=\ell\ ,\quad s(\ell)=0\ \ ,\qquad \frac{d s(u)}{du}=-1<0 \quad (\hbox{単調減少})$$ (0)

として

$$\int_{\gamma_1} \omega = \int^\ell_0 f(s(u))\frac{d s(u)}{du} du =\int^0_\ell f(s) ds$$

$$= -\int^\ell_0 f(s) ds = - \int_\gamma \omega$$ (0)

この時、パラメータの変換により $\gamma$ の向きが変ったといい、 $\gamma_1=-\gamma$ と書く。

(微分形式の原始函数)

微分形式 $\omega=P dx+Q dy$ が連続的微分可能な函数 $f=f(x, y)$ を 用いて $\omega=d\,f$ と書ける時、$f(x,y)$ を微分形式 $\omega$ の 原始函数という。この時

$$\frac{\partial f}{\partial x}=P\ ,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=Q \qquad (\hbox{連続})$$ (0)

また、平面内の任意の 2 点 $(x_0, y_0)$ , $(x, y)$ を結ぶ (区分的に) 微分可能な経路 $\gamma(s)$ に対して

$$\int_{\gamma} \omega = \int_\gamma d\,f =f(x, y)-f(x_0, y_0)$$ (0)

(命題) 微分形式 $\omega$ が平面内で原始函数をもつ
                 $\Longleftrightarrow$ 平面内の任意の閉じた経路 $C$ に対して $\int_C \omega=0$

(証明)

$\Longrightarrow$ $x=x_0$ , $y=y_0$ として、O.K.

$\Longleftarrow$ $\hbox{}^\forall (x, y)$ に対して、経路の取り方によらず

$$\int_{\gamma} \omega = \int_{\gamma^\prime} \omega = \cdots$$ (0)

は $\gamma$ と $\gamma^\prime$ , $\cdots$ の終点 $(x, y)$ と 起点 $(x_0, y_0)$ だけによる。それを $F(x, y)$ とすると

$$\int_{\gamma} \omega = F(x, y)-F(x_0, y_0)$$ (0)

まず、$x$ -軸にそって

$$F(x+h, y)-F(x, y)=\int_\gamma (P dx+Q dy) =\int^{x+h}_x P(\xi, y) d \xi\ ,$$

$$\frac{F(x+h, y)-F(x, y)}{h}=\frac{1}{h}\int^{x+h}_x P(\xi, y) d \xi$$ (0)

$P(x, y)$ は連続より、 $h \rightarrow 0$ として

$$\frac{\partial}{\partial x} F(x, y)=P(x, y)\qquad : \quad \hbox{連続}$$ (0)

同様に

$$\frac{\partial}{\partial y} F(x, y)=Q(x, y)\qquad : \quad \hbox{連続}$$ (0)

従って $F(x, y)$ は連続的微分可能で

$$\omega=P dx+ Q dy=\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) dx +\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right) dy=d\,F$$ (0)

(H. カルタン「複素函数論」(岩波) 参照)