M10

: 質点系の運動物理学基礎論 A >保存力と中心力

第 10 講 (平成 19 年 6 月 19 日)

5.3 角運動量と力のモーメント

或る点にベクトル ${\boldsymbol A}$ が与えられた時、また別の点のまわりのベクトル ${\boldsymbol A}$ のモーメントを

$\displaystyle [({\boldsymbol r}_P-{\boldsymbol r}_O)\times {\boldsymbol A}]$

(0)

で定義する。位置ベクトル ${\boldsymbol r}$ にある質点の運動量 ${\boldsymbol p}$ のモーメント

$\displaystyle {\boldsymbol M}=[({\boldsymbol r}-{\boldsymbol r}_O)\times {\boldsymbol p}]$

(0)

を、この質点の点

のまわりの角運動量という。この質点に力 ${\boldsymbol F}$ が働く時、

$\displaystyle {\boldsymbol N}=[({\boldsymbol r}-{\boldsymbol r}_O)\times {\boldsymbol F}]$

(0)

を、点

のまわりの力のモーメントという。

以下、簡単のためを座標原点にとり、''原点のまわりの'' を省略する。 (しかし、''どのまわりの'' かは重要である。)

(1 質点の運動)

$\displaystyle \frac{d {\boldsymbol M}}{dt}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{d}{dt}[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol p}] =\left[\frac{... ...mbol p}\right] +\left[{\boldsymbol r}\times \frac{d {\boldsymbol p}}{dt}\right]$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle m [{\boldsymbol v}\times {\boldsymbol v}]+[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol F}]={\boldsymbol N}$	(0)

より ( $[{\boldsymbol v}\times {\boldsymbol v}]=0$ に注意)

$\displaystyle \frac{d {\boldsymbol M}}{dt}={\boldsymbol N}$

(0)

(この式は、 $d {\boldsymbol p}/dt={\boldsymbol F}$ に類似している。) 特に、 ${\boldsymbol F}$ が ${\boldsymbol r}$ と平行 (中心力) なら、 ${\boldsymbol N}=0$ より ${\boldsymbol M}=$ 一定、である。これを、「角運動量の保存則」という。

(幾何学的意味)

${\boldsymbol r}$ と ${\boldsymbol r}+\Delta {\boldsymbol r}$ で囲まれる扇形の部分の面積は近似的に

$\displaystyle \Delta S=\frac{1}{2}\vert[{\boldsymbol r}\times \Delta {\boldsymb... ...}{2}\vert[{\boldsymbol r}\times ({\boldsymbol v}\Delta t)]\vert+O((\Delta t)^2)$

(0)

で表される。ここで、 $\Delta t \rightarrow 0$ の極限をとって

$\displaystyle \frac{d S}{dt}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Del... ...(\Delta t)\right) =\frac{1}{2}\vert[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol v}]\vert$

(0)

そこで

$\displaystyle \vert{\boldsymbol M}\vert=\vert[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol p}]\vert =m\vert[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol v}]\vert=2m \frac{dS}{dt}$

(0)

つまり、角運動量の大きさは面積速度

に比例する。一般に、''角運動量は、質点の運動平面に垂直で、その大きさは面積速度に比例する。'' 角運動量の運動方程式 Eq. (5.70) は、力のモーメントが角運動量を変化させることを意味する。

: 質点系の運動物理学基礎論 A >保存力と中心力

Yoshikazu Fujiwara 平成19年6月26日