5.2 保存力と中心力
一般に力
は位置ベクトル
だけでなく、速度
, 時間
等
の函数である:
. 今、
が
だけの函数
のとき、
を「力の場」という。
一般に、空間の各点
にベクトルが与えられたとき、そのベクトルの
総体を「ベクトル場」という。同様に、空間の各点
にスカラー量が
与えられたとき、そのスカラーの総体を「スカラー場」という
以下、簡単のため
を仮定する。
仕事は一般には、運動の起点
と終点
以外にその運動の経路
にも
依存するため、それを
と書く。
(例)
2 次元の運動で、
, かつ
が座標原点、
のとき、
から
まで引いた直線の経路を
,
を
,
を
とすると
が
,
にはよるが、経路
には
よらないとき、
を「保存力」という。
この場合、ポテンシャル(位置エネルギー)による記述が可能である。
(力が保存力であるための条件)
線積分
に対して、
経路を逆に辿った場合の線積分を
=
で表す。
である。
また別の経路
を考えると、
のとき、
. つまり、
.
すなわち、
から
を巡って、再び
に帰ってくる
閉じた経路を
とすると
.
これは、しばしば
と書かれる。
すなわち、「
が保存力なら、経路を一周するとその力が
した仕事はゼロ」である。
また逆に、任意の閉じた経路に対して
ならば、
は保存力である。実際、起点
, 終点
を巡る 1 周の線積分を
考えると、任意の
,
に対して
. つまり
.
従って、
は
によらず
である。
まとめると
一般に
が保存力なら、起点
を固定して
(力とポテンシャルの関係)
以下、
は保存力とする。
(gradient の幾何学的意味)
Taylor 展開より
(中心力)
万有引力の様に、ポテンシャルエネルギー
が
の
大きさ
だけの函数のとき、そこから導かれる保存力を
「中心力」という。このとき
参考
(偏微分、全微分) (2 変数で説明する)
2 変数の連続函数
に対して
2 階の偏微分は
(微分形式)
一般に、2 次元平面内で連続な函数
,
に対して
(1 変数の場合)
(連続) なら、
を積分して
(線積分)
(区分的に) 微分可能な経路
with
とすると
(微分形式の原始函数)
微分形式
が連続的微分可能な函数
を
用いて
と書ける時、
を微分形式
の
原始函数という。この時
(命題) 微分形式
が平面内で原始函数をもつ
平面内の任意の閉じた経路
に対して
(証明)
,
として、O.K.
に対して、経路の取り方によらず
(H. カルタン「複素函数論」(岩波) 参照)