第 10 講        (平成 19 年 6 月 19 日)

5.3 角運動量と力のモーメント

或る点 $P$ にベクトル ${\boldsymbol A}$ が与えられた時、また別の点 $O$ のまわりの ベクトル ${\boldsymbol A}$ のモーメントを

$$[({\boldsymbol r}_P-{\boldsymbol r}_O)\times {\boldsymbol A}]$$ (0)

で定義する。位置ベクトル ${\boldsymbol r}$ にある質点の運動量 ${\boldsymbol p}$ のモーメント

$${\boldsymbol M}=[({\boldsymbol r}-{\boldsymbol r}_O)\times {\boldsymbol p}]$$ (0)

を、この質点の点 $O$ のまわりの角運動量という。この質点に力 ${\boldsymbol F}$ が働く時、

$${\boldsymbol N}=[({\boldsymbol r}-{\boldsymbol r}_O)\times {\boldsymbol F}]$$ (0)

を、点 $O$ のまわりの力のモーメントという。

以下、簡単のため $O$ を座標原点にとり、''原点のまわりの'' を省略する。 (しかし、''どのまわりの'' かは重要である。)

(1 質点の運動)

$$\frac{d {\boldsymbol M}}{dt} = \frac{d}{dt}[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol p}] =\left[\frac{... ...mbol p}\right] +\left[{\boldsymbol r}\times \frac{d {\boldsymbol p}}{dt}\right]$$

$$= m [{\boldsymbol v}\times {\boldsymbol v}]+[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol F}]={\boldsymbol N}$$ (0)

より ( $[{\boldsymbol v}\times {\boldsymbol v}]=0$ に注意)

$$\frac{d {\boldsymbol M}}{dt}={\boldsymbol N}$$ (0)

(この式は、 $d {\boldsymbol p}/dt={\boldsymbol F}$ に類似している。) 特に、 ${\boldsymbol F}$ が ${\boldsymbol r}$ と平行 (中心力) なら、 ${\boldsymbol N}=0$ より ${\boldsymbol M}=$ 一定、である。これを、「角運動量の保存則」という。

(幾何学的意味)

${\boldsymbol r}$ と ${\boldsymbol r}+\Delta {\boldsymbol r}$ で囲まれる扇形の部分の面積は近似的に

$$\Delta S=\frac{1}{2}\vert[{\boldsymbol r}\times \Delta {\boldsymb... ...}{2}\vert[{\boldsymbol r}\times ({\boldsymbol v}\Delta t)]\vert+O((\Delta t)^2)$$ (0)

で表される。ここで、 $\Delta t \rightarrow 0$ の極限をとって

$$\frac{d S}{dt}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta S}{\Del... ...(\Delta t)\right) =\frac{1}{2}\vert[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol v}]\vert$$ (0)

そこで

$$\vert{\boldsymbol M}\vert=\vert[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol p}]\vert =m\vert[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol v}]\vert=2m \frac{dS}{dt}$$ (0)

つまり、角運動量の大きさは面積速度 $(dS/dt)$ に比例する。 一般に、''角運動量は、質点の運動平面に垂直で、 その大きさは面積速度に比例する。'' 角運動量の運動方程式 Eq. (5.70) は、力のモーメントが角運動量を変化させることを意味する。