7. 中心力による運動

7.1     2 質点系の運動

質点系の運動の特別な場合として、中心力の内力だけが働く 2 質点系の 運動を考えると、2 体系の運動方程式は一定速度の運動を続ける重心系 の運動と 2 質点の相対運動に対する 1 体問題に帰着される。 そこでは、2 質点の位置ベクトルの重心、相対変換が基本的である。

$${\boldsymbol r}={\boldsymbol r}_1-{\boldsymbol r}_2\ \ ,\qquad {\boldsymbol r}_G=\frac{1}{M}(m_1 {\boldsymbol r}_1+m_2 {\boldsymbol r}_2)\ ,$$

$${\boldsymbol p}=\frac{1}{M}(m_2 {\boldsymbol p}_1-m_1 {\boldsymbo... ... {\boldsymbol v}\ \ ,\qquad {\boldsymbol P}={\boldsymbol p}_1+{\boldsymbol p}_2$$ (0)

ここに、$M=m_1+m_2$ は全質量、 $\mu=m_1 m_2/(m_1+m_2)$ は換算質量である。 運動方程式 Eq.(6.33) は

$$\mu \frac{d^2 {\boldsymbol r}}{dt^2}={\boldsymbol F}\ \ ,\qquad M \frac{d^2 {\boldsymbol r}_G}{dt^2}=0$$ (0)

となり、外力が働かないから ${\boldsymbol P}=$ 一定、となる。 角運動量保存則は

$${\boldsymbol M}^\prime=[{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol p}]=\h... ...\qquad {\boldsymbol M}_G=[{\boldsymbol r}_G \times {\boldsymbol P}]=\hbox{一定}$$ (0)

であり、相対運動は一定平面のみで起こる。 もし、内力が保存力なら、重心系でのエネルギー $E$ は、重心運動の エネルギーとともに保存され

$$E=\frac{1}{2}\mu {\boldsymbol v}^2+U(r)\ \ ,\qquad T_G=\frac{1}{2}M {\boldsymbol v}^2_G =\hbox{一定}$$ (0)

となる。ここに、 ${\boldsymbol F}=-(\partial/\partial {\boldsymbol r})U(r)$ 、 かつ ${\boldsymbol F}\parallel {\boldsymbol r}$ である。

以下、相対運動だけに注目して、これを 2 次元の極座標表示で解く。 まず、内部角運動量は、 ${\boldsymbol r}=r {\boldsymbol e}_r$ , ${\boldsymbol v}=\dot{r} {\boldsymbol e}_r+r \dot{\theta} {\boldsymbol r}_\theta$ として

$${\boldsymbol M}^\prime=\mu [{\boldsymbol r}\times {\boldsymbol p}... ...bol e}_r \times {\boldsymbol e}_\theta] =\mu r^2 \dot{\theta} {\boldsymbol e}_z$$ (0)

ここに、 ${\boldsymbol e}_z=[{\boldsymbol e}_r \times {\boldsymbol e}_\theta]$ は $z$ -軸方向への単位ベクトル である。ここから

$$h=\vert{\boldsymbol M}^\prime\vert=\mu r^2 \dot{\theta}=\hbox{一定}$$ (0)

中心力を ${\boldsymbol F}({\boldsymbol r})=f(r) {\boldsymbol e}_r$ とすると、Eq. (7.2) の相対運動の 方程式は

$$\mu [\ddot{r}-r(\dot{\theta})^2]=f(r)\ \ , \qquad \mu (2 \dot{r} \dot{\theta}+r \ddot{\theta})=0$$ (0)

と表わされる。2 番目の式は、Eq. (7.6) の角運動量保存則と同等であり、また 次の面積速度が一定という表現と同値である。

$$S=\frac{1}{2}r^2 \dot{\theta}=\frac{h}{2\mu}=\hbox{一定}$$ (0)

Eq. (7.6) から得られる $\dot{\theta}=h/(\mu r^2)$ を Eq. (7.7) の 動径方向の方程式に代入すると

$$\ddot{r}=\frac{h^2}{\mu^2 r^3}+\frac{1}{\mu}f(r)\ \ , \qquad \dot{\theta}=\frac{h}{\mu r^2}$$ (0)

ここで、 $h^2/\mu r^3$ は角度方向の運動による遠心力の 効果を表わす。 適当な境界条件のもとに、これらの微分方程式を解けば解が求まる。 具体的には、まず 1 番目の式から $r$ が $t$ の函数として 求まり ($r=r(t)$ )、次にそれを 2 番目の式に代入 してまた別の微分方程式を解いて $\theta=\theta(t)$ が求まる。 ここで、$t$ を消去すれば $r$ が $\theta$ の函数として決まり、 軌道が求まることになる。ここで、角運動量の大きさ $h$ は 初期条件から決まる定数である。

もし、軌道だけを求めるのであれば、Eq. (7.9) から時間微分を 消去して

$$\frac{d^2 u}{d \theta^2}+u+\frac{\mu}{h^2}\frac{1}{u^2} f\left(\frac{1}{u}\right)=0$$ (0)

という式を導くことが出来る。ここに、$u=1/r$ である。 万有引力 $f(r)=-G m_1 m_2/r^2$ の時、これを解くと運動の 軌跡は楕円軌道 (一般には 2 次曲線) となることが分かる。 (植松、「力学」pp. 104 - 105 参照)

7.2 エネルギー保存則の利用 (中心力の場合の形式解)

力が保存力の時、中心力 ${\boldsymbol F}({\boldsymbol r})=f(r) {\boldsymbol e}_r$ のポテンシャルは

$$U(r)=\int^\infty_r f(r)\,dr$$ (0)

で与えられるから

$$T+U = \frac{1}{2}\mu \left(v^2_r+v^2_\theta \right)+U(r)$$

$$= \frac{1}{2}\mu \left[(\dot{r})^2+(r \dot{\theta})^2\right] +U(r)=E \qquad (\hbox{一定})$$ (0)

これを

$$E=\frac{\mu}{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 +U^{\rm eff}(r)\ \ ,$$

$$\hbox{with} \qquad U^{\rm eff}(r)=U(r)+\frac{\mu}{2} (r \dot{\theta})^2 =U(r)+\frac{h^2}{2\mu r^2}$$ (0)

と書いて、 $U^{\rm eff}(r)$ を動径部分の「有効ポテンシャル」という。 もとの $U(r)$ 以外に、遠心力ポテンシャル $h^2/2\mu r^2$ が つけ加わっている。( $-(d/dr)(h^2/2\mu r^2)=h^2/(\mu r^3)$ に 注意) 適当なポテンシャル $U(r)$ に対して、$r$ の函数として $U^{\rm eff}(r)$ の グラフを描くと、一般には $r$ の小さい領域で遠心力の斥力が勝ち、 $r$ は転回点 $r_0$ より大きいところでのみ運動が可能であることが 分かる。Eq. (7.13) から

$$\frac{dr}{dt}=\pm \sqrt{\frac{2}{\mu}\left[E-U^{\rm eff}(r)\right]}$$ (0)

より、$r_0$ は $E=U^{\rm eff}(r_0)$ を満す (一般には、一番小さな) $r$ である。$r_0$ はパラメータ $E$ と $h$ の函数である。 まず、Eq. (7.14) を $t$ で積分すると

$$t-t_0=\pm \int^r_{r_0} \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu} \left[E-U^{\rm eff}(r)\right]}}$$ (0)

より、$r$ が $t$ の函数として求まる。($r=r(t)$ ) 次に、 $d\theta/dt=h/(\mu r^2)$ を積分して

$$\theta-\theta_0=\int^t_{t_0} \frac{h}{\mu \left[r(t)\right]^2} \,dt$$ (0)

により、$\theta$ が $t$ の函数として求まる。 もし、軌道だけ必要なら、 $d\theta/dr=(d\theta/dt)/(dr/dt)$ を 積分して

$$\theta-\theta_0=\pm \int^r_{r_0} \frac{\frac{h}{\mu r^2}} {\sqrt{\frac{2}{\mu}\left[E-U(r)-\frac{h^2}{2\mu r^2}\right]}} \,dr$$ (0)

これらは、保存力、かつ中心力で相互作用する 2 質点系の相対運動の解を、 形式的にではあるが、完全に与えている。

7.3 ケプラー問題 (太陽の引力のもとでの惑星の運動)

幾つかの特別な場合には、前節の積分は解析的に求まる。 それは、ポテンシャルが万有引力ポテンシャルである場合と 調和振動子 $U(r)=(1/2)kr^2$ の場合である。ここでは、 前者について解を具体的に求め、ケプラーの 3 法則を導く。 簡単のため $\alpha=G m_1 m_2$ とおいて、万有引力ポテンシャルを $U(r)=-\alpha/r$ と書く。有効ポテンシャルは

$$U(r)=-\frac{\alpha}{r}+\frac{h^2}{2\mu r^2}$$ (0)

で与えられる。$r$ で微分して、有効ポテンシャルの極小点を 求めると

$$d=\frac{h^2}{\mu \alpha}=\frac{h^2}{G m_1 m_2 \mu}$$ (0)

が得られる。この点における有効ポテンシャルの極小値は

$$U_{\rm min}=-\frac{\mu \alpha^2}{2h^2} =-\frac{(Gm_1 m_2)^2 \mu}{2 h^2}$$ (0)

である。運動可能領域が存在するためには

$$E \geq U_{\rm min}$$ (0)

でなければならない。 軌道の方程式を求めるために、最近接距離 (近日点) を $r_0$ として、 $r=r_0$ の時 $\theta=0$ になる様に $\theta$ の原点を 定めると、Eq. (7.17) は

$$\theta=\pm \int^r_{r_0} \frac{h\,dr} {r^2\sqrt{2\mu E+\frac{2\mu \alpha}{r}-\frac{h^2}{r^2}}}$$ (0)

となる。$(1/r)=u$ として $u$ の積分へ移ると

$$\theta=\mp \int^u_{u_0} \frac{du} {\sqrt{\frac{2\mu E}{h^2}+\frac{2\mu \alpha}{h^2}u-u^2}}$$ (0)

ここに、ルート記号の中は、Eq. (7.19) を用いて $(1/d)$ で $u$ の完全平方の形に書ける。更に

$$\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2\mu E}{h^2}d^2} =\sqrt{1+\frac{2h^2 E}... ...alpha^2}} =\sqrt{1-\frac{E}{U_{\rm min}}} \qquad (\,\geq 0 \quad \hbox{の実数})$$ (0)

と定義すると

$$\theta=\mp \int^u_{u_0} \frac{du} {\sqrt{\frac{\varepsilon^2}{d^2} -\left(u-\frac{1}{d}\right)^2}}$$ (0)

この積分は、積分変数変換 $u-1/d=(\varepsilon/d) \cos\,\theta$ に より、trivial となる。すなわち、 $u=(1+\varepsilon \cos\,\theta)/d =1/r$ より、結局

$$r=\frac{d}{1+\varepsilon \cos\,\theta}$$ (0)

この軌跡は

$$0 \leq \varepsilon < 1 \qquad \hbox{の時、楕円} \qquad (\varepsilon=0 \quad \hbox{の時は円})$$

$$\varepsilon = 1 \qquad \hbox{の時、放物線}$$

$$\varepsilon \geq 1 \qquad \hbox{の時、双曲線}$$ (0)

を表わす。

Eq. (7.27) の楕円の場合がケプラーの第 1 法則である。この時、 $\varepsilon < 1$ の条件から $U_{\rm min} \leq E <0$ とエネルギー $E$ が 負の場合である事が分かる。また

$$\theta=0 \quad \hbox{の時} \quad r_0=\frac{d}{1+\varepsilon} \quad \hbox{近日点}$$

$$\theta=\pi \quad \hbox{の時} \quad r^\prime_0=\frac{d}{1-\varepsilon} \quad \hbox{遠日点}$$ (0)

また、楕円の半長径は $a=(r_0+r^\prime_0)/2=d/(1-\varepsilon^2)$ . 楕円の中心から焦点までの距離は $a-r_0=\varepsilon a$ である 事が分かる。すなわち、 $\varepsilon$ は楕円の離心率である。 楕円の半短径は $b=\sqrt{a^2-(\varepsilon a)^2} =d/\sqrt{1-\varepsilon^2}=\sqrt{ad}$ となる。 $a$ と $b^2$ をもとの変数で書けば

$$a=-\frac{\alpha}{2E}=-\frac{Gm_1 m_2}{2E}\ \ ,\qquad b^2=-\frac{h^2}{2\mu E}$$ (0)

すなわち、楕円の半長径は角運動量 $h$ にはよらず、エネルギー $E$ だけ による。 ケプラーの第 2 法則は「面積速度一定」であり、それは角運動量一定に 他ならない。(中心力の性質)

$$S=\frac{h}{2\mu}=\hbox{一定} \qquad (\hbox{角運動量保存則})$$ (0)

ケプラーの第 3 法則を導くには、楕円の周期を $T$ として、面積速度一定から $ST=\pi ab$ である事を用いる。ここから

$$T=\frac{\pi ab}{S}=\frac{2\pi \mu}{h}\sqrt{d} a^{\frac{3}{2}} =\frac{2\pi}{G(m_1+m_2)} a^{\frac{3}{2}}$$ (0)

が得られる。今、太陽の質量が惑星の質量に比べて十分大きいことに 注目して $m_1 \gg m_2$ と近似すると

$$T^2=\frac{(2\pi)^2}{Gm_1} a^3$$ (0)

となって、''公転周期の 2 乗と軌道の半長径の 3 乗の比は 惑星によらず一定'' という「ケプラーの第 3 法則」が得られる。

(参考) 2 次曲線の一般論

2 次曲線は、原点にとった１つの焦点と或る基準線との間の距離の 比が $\varepsilon :1$ となる様な点全体の集合として特徴づけられる。 今、基準線として、直交座標表示での $x=d/\varepsilon$ を選ぶと この条件は Eq. (7.26) で表わされる。これを、直交座標表示すれば ( $x=r \cos\,\theta$ , $y=r \sin\,\theta$ )、 $0 < \varepsilon <1$ の時

$$\left(\frac{x+\frac{\varepsilon d}{1-\varepsilon^2}} {\frac{d}{1-... ...silon^2}}\right)^2 +\left(\frac{y}{\frac{d}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}}\right)^2=1$$ (0)

となって楕円を表わすことが分かる。ここから、 $a=d/(1-\varepsilon^2)$ かつ $b=d/\sqrt{1-\varepsilon^2}$ , $b=\sqrt{1-\varepsilon^2} a$ が導かれる。 また、Eq. (7.33) から、楕円の中心は $x=-\varepsilon d/(1-\varepsilon^2)$ の 直線上にあり、楕円はこの軸について左右対称である事が分かる。この事は、 $x<0$ の領域にも楕円の焦点と基準線が存在することを意味し、これらに ついても $\varepsilon :1$ の比が成り立つ。ここから、二つの焦点から楕円上の 1 点を結んだ距離の和は $2a$ で一定であるという、楕円のよく知られた性質 が簡単に導かれる。一方、 $\varepsilon=1$ の時は、Eq. (7.26) で 表わされる曲線は放物線となり、直交表示では $2dx+y^2=d^2$ で表わされる。 更に、 $\varepsilon > 1$ の時は、Eq. (7.26) は双曲線

$$\left(\frac{x-\frac{\varepsilon d}{\varepsilon^2-1}} {\frac{d}{\v... ...lon^2-1}}\right)^2 -\left(\frac{y}{\frac{d}{\sqrt{\varepsilon^2-1}}}\right)^2=1$$ (0)

となる。今度は、対称軸は $x=\varepsilon d/(\varepsilon^2-1)$ であり 平面の右側に再び同じ構造が現れる。双曲線では二つの焦点からの距離の 差が $2a$ となる。

(H19.7.2 終了)